Question

16．設(shè)a，b∈R，則“a＞b”是“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分又不必要 條件

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，f（x）=e^x+e^-x，分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)充分性和必要性判斷即可．

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+e^-x，
∵f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，
∴（e^x）²-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴x＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∵a＞b＞0，
∴f（a）＞f（b），
∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．
∴a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b），
當(dāng)x＜0時(shí)，
∴（e^x）²-1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴x＜0時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
∵b＜a＜0，
∵f（a）＜f（b），
∴e^a+e^-a＜e^b+e^-b．
∴a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b），
當(dāng)a＞0＞b時(shí)，顯然成立，
綜上所述當(dāng)a＞b時(shí)，“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”恒成立，故充分性成立，
反之也成立，故必要性成立，
∴“a＞b”是“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”充要條件，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查充分必要條件的判斷和函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論的思想，屬于中檔題．