Question

已知曲線C上的動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡的方程；
（2）記P的軌跡方程為E，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別交曲線E于A，B，C，D四點(diǎn)，設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意有 （y-1）²+x²=|y+2|-1，由此能求出動點(diǎn)P的軌跡的方程．
（2）設(shè)直線AB和CD的解析式為：y=kx+1，y=-

1

k

x+1，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x_m，y_m），（x_n，y_n），將y=kx+1，y=-

1

k

x+1分別代入x²=4y，得x²-4kx-4=0和x²+

4

k

x-4=0，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明直線MN過定點(diǎn)（0，3）．

解答： （1）解：依題意有 （y-1）²+x²=|y+2|-1，
由題意知y＞-2，
∴（y-1）²+x²=|y+1|，
化簡得動點(diǎn)P的軌跡的方程為：x²=4y．
（2）證明：由題意，可設(shè)直線AB和CD的解析式為：y=kx+1，y=-

1

k

x+1，
點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x_m，y_m），（x_n，y_n），
將y=kx+1，y=-

1

k

x+1分別代入x²=4y得：
x²-4kx-4=0和x²+

4

k

x-4=0，
由根與系數(shù)關(guān)系得：
x_m=2k，y_m=2k²+1，x_n=-

2

k

，y_n=

2

k2

+1，
則M（2k，2k²+1），N（-

2

k

，

2

k2

+1）
則直線MN的解析式為：y=（k-

1

k

）x+3
∴直線MN過定點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線過定點(diǎn)坐標(biāo)的證明，考查直線與拋物線等知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．