Question

已知a＞b＞c，且a+b+c=0，
（1）試判斷a，c及2a+c的符號(hào)；
（2）用分析法證明：

b2-ac

a

＜

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，由a＞b，a＞c，利用不等式的可加性可知a+a＞b+c，再在此兩邊同時(shí)加上a，即可得a的符號(hào)；同理可得c的符號(hào)；將2a+c寫(xiě)成a+（a+c），利用a+c=-b及a＞b可得到2a+c的符號(hào)．
對(duì)第（2）問(wèn)，將原式轉(zhuǎn)化為

b2-ac

＜

3

a，兩邊平方后，利用b=-（a+c）消去b，通過(guò)討論a與c的關(guān)系得到證明．

解答： 解：（1）∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴0=a+b+c＜3a，∴a＞0，
同理，由0=a+b+c＞3c，得c＜0．
又由a+c=-b，得2a+c=a+a+c=a-b＞0．
綜上知，a＞0，c＜0，2a+c＞0．
（2）證明：要證

b2-ac

a

＜

3

，只需證

b2-ac

＜

3

a，
由（1）知，a＞0，即證b²-ac＜3a²，
又b=-（a+c），只需證（a+c）²-ac＜3a²，
即證（a-c）（2a+c）＞0，
∵a-c＞0，2a+c＞0，∴（a-c）（2a+c）＞0成立，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了不等式的基本性質(zhì)，及分析法證明不等式，關(guān)鍵在于充分挖掘題設(shè)條件，并利用第（1）問(wèn)的結(jié)論解決第（2）問(wèn)．
2．對(duì)分析法的理解：從求證不等式出發(fā)，分析使不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定此條件是否具備．其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．書(shū)寫(xiě)模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B₁為真，從而有…，這只需證明B₂為真，從而又有…，…這只需證明A為真，而A顯然為真，故B必為真．
3．事實(shí)上，對(duì)第（1）問(wèn)中a，c的符號(hào)判斷，也可以用反證法：假設(shè)a≤0，由a＞b＞c知，b＜0，c＜0，從而a+b+c＜0，這與a+b+c=0矛盾，故a＞0；假設(shè)c≥0，同理可得矛盾，可知c＜0．