Question

2．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），若tan（α+β）=2tanβ，則當(dāng)α取得最大值時(shí)，tan2α=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

Answer 1

分析 先化簡已知，利用均值不等式得出tanα=$\frac{1}{\frac{1}{tanβ}+2tanβ}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求出tanβ的值，進(jìn)而得出tanα的最大值，然后根據(jù)兩角和與差公式得出結(jié)果．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanα＞0，tanβ＞0，
∵tan（α+β）=2tanβ，可得：$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanβ，
∴整理可得：tanα=$\frac{tanβ}{1+2ta{n}^{2}β}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanβ}+2tanβ}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{tanβ}$=2tanβ，即tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，tanα_max=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
此時(shí)，可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{2}{16}}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

點(diǎn)評 此題考查了兩角和與差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握公式解題的關(guān)鍵，此題綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．