Question

16．若${（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^6}（a＞0）$的展開式的常數(shù)項(xiàng)是$\frac{15}{4}$，則實(shí)數(shù)a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值；再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)是$\frac{15}{4}$，求得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：${（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^6}（a＞0）$的展開式的通項(xiàng)公式為 ${T_{r+1}}=C_6^r{（\sqrt{x}）^{6-r}}{（-\frac{a}{x}）^r}={（-1）^r}C_6^r{a^r}{x^{3-\frac{3}{2}r}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=2，可得常數(shù)項(xiàng)為${C}_{6}^{2}$•a²．
再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)是$\frac{15}{4}$，可得 ${C}_{6}^{2}$•a²=$\frac{15}{4}$，求得a=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．