Question

11．已知點P是邊長為1的正方形ABCD的對角線AC上的任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$等于（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow$（其中λ、μ∈R），根據(jù)題意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow$，計算$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$即可．

解答 解：設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow$（其中λ、μ∈R），
根據(jù)題意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．
所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow$，
故$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$=$[（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow]（λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow）$
=（λ-1）λ-μ（μ+1）
=（λ+μ）（λ-μ-1）
=0，
故選：D．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，其中求出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$的表達式是解答本題的關鍵．