Question

3．己知函數(shù)f（x）=2asin（ωx+$\frac{π}{4}$）-2a+b（ω＞0），f（x）的最小正周期為π，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，再利用定義域和值域求得f（x）的值域，從而求得a、b的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2asin（ωx+$\frac{π}{4}$）-2a+b（ω＞0），f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{4}$）-2a+b，
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（ωx+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴當a＞0時，2asin（ωx+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$a，2a]，再根據(jù)f（x）的值域是[3，4]，
可得-$\sqrt{2}$a-2a+b=3，2a-2a+b=4，求得a=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=4．
當a＜0時，2asin（ωx+$\frac{π}{4}$）∈[2a，-$\sqrt{2}$a]，再根據(jù)f（x）的值域是[3，4]，
可得2a-2a+b=3，-$\sqrt{2}$a-2a+b=4，求得a=-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=3．
綜上可得，a=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=4；或者a=-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=3．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，定義域和值域，屬于中檔題．