Question

已知函數(shù)f（x）定義域為R，對于定義域內(nèi)任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0時，f（x）＜0，則（　　）

• A、f（x）是偶函數(shù)且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減
• B、f（x）是偶函數(shù)且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
• C、f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減
• D、f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=0，求出f（0）=0，再令y=-x，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，由奇偶性即可判斷處函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：令x=y=0，則2f（0）=f（0），f（0）=0，
再令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（x）為奇函數(shù)，
故A，B錯，在C，D中選，
再令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，故f（x）在R上是減函數(shù)，C正確，D錯誤．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，是一道基礎(chǔ)題．