Question

過(guò)圓C：x²+y²=2R²內(nèi)一定點(diǎn)M（x₀，y₀）作一動(dòng)直線交圓C于兩點(diǎn)A、B，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線ON⊥AM于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A的切線交直線ON于點(diǎn)Q，則

OM

•

OQ

=

 

（用R表示）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中圓C：x²+y²=R²內(nèi)一定點(diǎn)M（x₀，y₀）作一動(dòng)直線交圓C于兩點(diǎn)P、R，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線ON⊥PM于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P的切線交直線ON于點(diǎn)Q，根據(jù)垂徑定理，切線的性質(zhì)及三角形相似的判定定理，我們易得△PN0∽△QP0，ON•OQ=OP²=R²，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，易求出答案．

解答： 解：∵過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線ON⊥PM于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A的切線交直線ON于點(diǎn)Q，
則△AN0∽△QA0，∴ON•OQ=OA²=2R²，
則

OM

•

OQ

=|

OM

|•|OQ|•cos＜

OM

，

OQ

＞=|

ON

|•|

OQ

|=2R²，
故答案為：2R² ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件用平面幾何的知識(shí)得到ON•OQ=OP²=R²是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．