Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求f（x）的解析式；
（2）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（1）可得到b+c=-1，由f（x）是偶函數(shù)可得b=0，所以得到c=-1，這樣便可得到f（x）解析式；
（2）f（x）是二次函數(shù)，求出f（x）的對(duì)稱軸x=-

b

2

，所以根據(jù)f（x）在[-1，3]上單調(diào)遞增可得-

b

2

≤-1，所以得出b的取值范圍為[2，+∞）．

解答： 解：（1）f（1）=0得1+b+c=0；
f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=x²-bx+c=x²+bx+c；
∴b=0，c=-1；
∴f（x）=x²-1；
（2）f（x）的對(duì)稱軸為x=-

b

2

；
∵f（x）在[-1，3]上單調(diào)遞增；
∴-

b

2

≤-1，b≥2；
∴b的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查偶函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸的關(guān)系．