Question

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞）且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

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2

）=1，如果對于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
（1）求f（1），f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x=y=1易得f（1）=0；再令x=2，y=

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2

，可得f（2）值；
（2）先求出f（4）=-2，由f（-x）+f（3-x）≥-2，得到f[x（x-3）]≥f（4），再由函數f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數，能求出原不等式的解集．

解答： 解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
再令x=2，y=

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2

，
∴f（1）=f（2）+f（

1

2

）=0，
∴f（2）=-1
（2）∵對于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
∴函數在（0，+∞）減函數，
令x=y=2，
∴令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∵f（-x）+f（3-x）≥-2．
∴f（x）+f（x-3）≥f（4），
∴f[x（x-3）]≥f（4），
∴

-x＞0 3-x＞0 x(x-3)≤4

，
解得-1≤x＜0
∴原不等式的解集為[-1，0）

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法及函數單調性的應用，突出轉化思想的考查，屬于中檔題．