Question

16．已知點A（-1，3），F(xiàn)是拋物線x²=4y的焦點，M是拋物線上任意一點，則|MF|+|MA|的最小值為4；點M到直線x-y-2=0的距離的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 設點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|進而把問題轉(zhuǎn)化為求|MA|+|MD|取得最小，進而可推斷出當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，答案可得，利用點到直線的距離公式，結合配方法求出點M到直線x-y-2=0的距離的最小值

解答 解：設點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|，
∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，
當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，為3-（-1）=4．
點M到直線x-y-2=0的距離為$\frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（x-2）^{2}+1|}{\sqrt{2}}$，∴x=2時，取得最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：4；$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，考查點到直線的距離公式，判斷當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小是解題的關鍵．