Question

5．A、B分別是直線y=$\frac{a}$x和y=-$\frac{a}$x上的兩點，O為坐標(biāo)原點，且|OA|•|OB|=a²+b²，求AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 利用中點坐標(biāo)公式，結(jié)合|OA|•|OB|=a²+b²，即可求AB中點的軌跡方程．

解答 解：設(shè)AB中點（x，y），A（x₁，$\frac{a}$x₁），B（x₂，-$\frac{a}$x₂），則2x=x₁+x₂，2y=$\frac{a}$（x₁-x₂），
∴x₁=x+$\frac{ay}$，x₂=x-$\frac{ay}$①
∵|OA|•|OB|=a²+b²，
∴（x₁²+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x₁²）（x₂²+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x₂²）=（a²+b²）²，
∴x₁x₂=a²②
①代入②可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．