Question

14．對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，則把y=f（x），x∈D叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{x}$，（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）已知[a，b]是正整數(shù)，且定義在（1，m）的函數(shù)y=k-$\frac{9}{x+1}$是閉函數(shù)，求正整數(shù)m的最小值，及此時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，y=x³ 在[a，b]上遞增，在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，故有 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得a、b的值，可得結(jié)論．
（2）取 x₁=1，x₂=10，則由f（x₁）=$\frac{7}{4}$＜$\frac{76}{10}$=f（x₂），可得f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．同理求得f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．
（3）由題意，可得方程$x=k-\frac{9}{x+1}$在（1，m）上有兩個(gè)不等的實(shí)根．利用基本不等式求得當(dāng)x=2時(shí)，k取得最小值為5．再根據(jù)函數(shù)g（x）在（1，2）上遞減，在（2，m）遞增，而函數(shù)y=g（x）與y=k在（1，m）有兩個(gè)交點(diǎn)，可得正整數(shù)m的最小值為3，此時(shí)，g（3）=$\frac{21}{4}$，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）由題意，y=x³ 在[a，b]上遞增，在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
所以，所求的區(qū)間[a，b]為[-1，1]．
（2）取 x₁=1，x₂=10，則f（x₁）=$\frac{7}{4}$＜$\frac{76}{10}$=f（x₂），
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取 x₁=$\frac{1}{10}$，x₂=$\frac{1}{100}$，則f（x₁）=$\frac{3}{40}$+10＜$\frac{3}{400}$+100=f（x₂），
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．
（3）函數(shù)y=k-$\frac{9}{x+1}$是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，使函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇a，b]，
∵函數(shù)y=k-$\frac{9}{x+1}$在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，即 $\left\{\begin{array}{l}{a=k-\frac{9}{a+1}}\\{b=k-\frac{9}{b+1}}\end{array}\right.$，
∴a，b為方程$x=k-\frac{9}{x+1}$的兩個(gè)實(shí)根，
即方程$x=k-\frac{9}{x+1}$在（1，m）上有兩個(gè)不等的實(shí)根．
由于 $k=x+\frac{9}{x+1}=x+1+\frac{9}{x+1}-1≥5當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號…（9分）$，
考察函數(shù)$g（x）=x+\frac{9}{x+1}，x＞1$，∵函數(shù)g（x）在（1，2）上遞減，∴m＞2．
∵g（x）在（2，m）遞增，而函數(shù)y=g（x）與y=k在（1，m）有兩個(gè)交點(diǎn)，$\begin{array}{l}g（1）=\frac{11}{2}$，
∵$\frac{11}{2}=m+\frac{9}{m+1}\\∴2＜m＜\frac{7}{2}\end{array}$，
所以正整數(shù)m的最小值為3，此時(shí)，g（3）=$\frac{21}{4}$，此時(shí)，k的范圍是（5，$\frac{21}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．