Question

7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥-2x}\\{y≥x}\\{y+x≤4}\end{array}\right.$，則z=y-4x的取值范圍是[-6，24]z=y-4|x|的取值范圍是[-8，4]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用平移法結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：由z=y-4x，得y=4x+z，
作出不等式對應(yīng)的可行域，
平移直線y=4x+z，

由平移可知當(dāng)直線y=4x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線y=4x+z的截距最大，此時(shí)z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y+x=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（-4，8）
代入z=y-4x，得z=8+4×4=24，
即z=y-4x的最大值為24．
當(dāng)直線y=4x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，
直線y=4x+z的截距最小，此時(shí)z取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y+x=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（2，2）
代入z=y-4x，得z=2-4×2=-6，
即z=y-4x的最小值為-6．
則-6≤z≤24，
即z=y-4x的取值范圍是[-6，24]，
由z=y-4|x|得y=4|x|+z，
作出y=4|x|的圖象，平移y=4|x|+z，
由圖象知當(dāng)y=4|x|+z經(jīng)過A（-4，8）時(shí)，z最小，
此時(shí)z=8-4×4=-8，
當(dāng)y=4|x|+z經(jīng)過C（0，4）時(shí)，z最大，
此時(shí)z=4-4×0=4，
則-8≤z≤4，
即z=y-4|x|的取值范圍是[-8，4]，

故答案為：[-6，24]，[-8，4]

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．