Question

15．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$的值域為[$\frac{2}{27}$，2]．

Answer 1

分析 分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的判別式求出值域即可．

解答 解：設(shè)y=f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$，
則y（x²+3x+9）=x²-2x+2，
整理得：x²（y-1）+x（3y+2）+9y-2=0，
∵方程有實根，
∴y-1=0；或y-1≠0，且△=（3y+2）²-4（y-1）（9y-2）≥0，
解得：$\frac{2}{27}≤y≤2$．
即函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$的值域為：[$\frac{2}{27}$，2]．
故答案為：[$\frac{2}{27}$，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的值域，利用二次函數(shù)的判別式求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．