Question

17．已知函數(shù)y=f（x）是（-1，1）上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-1，0）是單調(diào)遞增的，A，B，C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是（　　）

• A． f（sinA）＞f（cosA）
• B． f（sinA）＞f（cosB）
• C． f（sinC）＜f（cosB）
• D． f（sinC）＞f（cosB）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、銳角三角形的性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于知函數(shù)y=f（x）是（-1，1）上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-1，0）是單調(diào)遞增的，故它在（0，1）上單調(diào)遞減．
對(duì)于A，由于不能確定sinA、sinB的大小，故不能確定f（sinA）與f（sinB）的大小，故A不正確；
對(duì)于B，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∴$A+B＞\frac{π}{2}$，得$A＞\frac{π}{2}-B$，注意到不等式的兩邊都是銳角，
兩邊取正弦，得$sinA＞sin（\frac{π}{2}-B）$，即sinA＞cosB，又f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正確；
對(duì)于C，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個(gè)內(nèi)角，$B+C＞\frac{π}{2}$，得$C＞\frac{π}{2}-B$，注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取余弦，
得$cosC＞cos（\frac{π}{2}-B）$，即cosC＜sinB；再由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，由cosC＜sinB，可得f（cosC）＜f（sinB），得C正確；
對(duì)于D，由對(duì)B的證明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，銳角三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．