Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，x∈R，試判斷函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系或者直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．
∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=3x²-3＞0．
即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
也可以利用定義法證明：
設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁³-3x₁-x₂³+3x₂=（x₁-x₂）（

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

-3），
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

-3＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用導(dǎo)數(shù)法和定義法是解決本題的關(guān)鍵．