Question

12．已知f（x）=（x²+ax+a）e^-x（a＜2，a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性，并求出極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的極大值為3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可討論f（x）的單調(diào)性，并求出極值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的極大值，結(jié)合條件進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a＞0
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		極小		極大

由表可知f（x）_極小=f（0）=a，$f{（x）_{極大}}=f（2-a）=（4-a）{e^{a-2}}$
（2）設(shè)g（a）=（4-a）e^a-2，g′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴g（a）在（-∞，2）上是增函數(shù)，
∴g（a）≤g（2）=2＜3∴（4-a）e^a-2≠3
∴不存在實(shí)數(shù)a使f（x）最大值為3．

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號變化研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，屬于中檔題．