Question

12．已知點(diǎn)A（0，1），直線l：y=kx+m與圓O：x²+y²=1交于B，C兩點(diǎn)，△ABC與△OBC的面積分別為S₁，S₂，若S₁≥2S₂，且∠BAC=60°，則m的取值范圍是[-1，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出圓心、點(diǎn)A到直線的距離分別為d，d′，由$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{xg5mcqy^{′}}z5tywba$，利用S₁≥2S₂，求得m的范圍．再根據(jù)S_△OBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得S₁≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡可得|m-1|≥1．再根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑求得m的范圍．把以上m的范圍取交集，即得所求．

解答 解：設(shè)圓心O、點(diǎn)A到直線的距離分別為d，d′，則d=$\frac{|m|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$，d′=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{3bg3aye^{′}}ptusqoe$=$\frac{|m-1|}{|m|}$≥2，∴-1≤m≤$\frac{1}{3}$ ①．
根據(jù)∠BAC=60°，可得BC對(duì)的圓心角∠BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•OB•OC•sin∠BOC=$\frac{1}{2}$×1××sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S₁≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴S₁=$\frac{1}{2}$BC•d′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{|m-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴|m-1|≥$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴|m-1|≥1，解得 m≥2或 m≤0 ②．
再根據(jù)△OBC為等腰三角形，BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，∴m≤-$\frac{1}{2}$ 或m≥$\frac{1}{2}$③．
結(jié)合①②③可得-1≤m≤-$\frac{1}{2}$，
故答案為：[-1，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．