Question

4．已知函數(shù)f（x）=-2（x+a）lnx+x²-2ax-2a²+a，其中a＞0，設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性和極值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$g（x）=f'（x）=2x-2a-2lnx-2（1+\frac{a}{x}）$，
所以$g'（x）=2-\frac{2}{x}+\frac{2a}{x^2}=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+2（a-\frac{1}{4}）}}{x^2}$．
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{4}$時(shí)，g（x）在區(qū)間$（0，\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}），（\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}）$上單調(diào)遞減，
$當(dāng)x=\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}時(shí)有極大值，當(dāng)x=\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}時(shí)有極小值$；
當(dāng)$a≥\frac{1}{4}$時(shí)，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．