Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），該橢圓上、左、下頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)圍成的四邊形面積為3$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，若矩形ABCD的四條邊都與該橢圓相切，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{1}{2}（a+c）×2b$=3$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）令A(yù)（x₀，y₀），當(dāng)AB斜率為0或不存在時(shí)，可得S_ABCD=8$\sqrt{3}$．當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB方程：y=kx+y₀-kx₀．代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-8k（kx₀-y₀）x+4$（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-12=0，根據(jù)AB與橢圓相切，可得△=0，化為：k²${x}_{0}^{2}$-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4k²=0，同理可得AD與橢圓相切，可得：${x}_{0}^{2}$+2kx₀y₀+${k}^{2}{y}_{0}^{2}$-3k²-4=0．進(jìn)而得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{1}{2}（a+c）×2b$=3$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）令A(yù)（x₀，y₀），當(dāng)AB斜率為0或不存在時(shí)，可得S_ABCD=8$\sqrt{3}$．
當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB方程：y=kx+y₀-kx₀．代入橢圓方程可得：3x²+4$（kx-k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}=12$，
化為：（3+4k²）x²-8k（kx₀-y₀）x+4$（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-12=0，∵AB與橢圓相切，可得△=$64{k}^{2}（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-4（3+4k²）$[4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12]$=0，化為：k²${x}_{0}^{2}$-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4k²=0，①．
同理可得AD與橢圓相切，可得$（-\frac{1}{k}）^{2}{x}_{0}^{2}$-2$（-\frac{1}{k}）$x₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4$（-\frac{1}{k}）^{2}$=0，化為：${x}_{0}^{2}$+2kx₀y₀+${k}^{2}{y}_{0}^{2}$-3k²-4=0．②
①+②可得：${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=7．即A點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，$\sqrt{7}$為半徑的圓上．
∴ABCD為以原點(diǎn)為圓心，$\sqrt{7}$為半徑的圓的內(nèi)接矩形，只有當(dāng)ABCD為正方形時(shí)面積最大．
可得S_ABCD=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相切轉(zhuǎn)化為△=0、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、矩形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．