Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-e^ax（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，證明：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ae．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=1-ae^ax，再令f′（x）=0解得x=-$\frac{lna}{a}$，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論-$\frac{lna}{a}$與[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]的關(guān)系，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）可判斷出f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）＞0，f（0）＜0，f（e）=e-e^ae＞0，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＞e；從而可得0＜x₁＜e，x₂＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{a}$，從而證明．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x-e^ax（a＞0），
∴f′（x）=1-ae^ax，令f′（x）=0，解得x=-$\frac{lna}{a}$，
當(dāng)x≤-$\frac{lna}{a}$時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在（-∞，-$\frac{lna}{a}$）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞$\frac{lna}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在（-$\frac{lna}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\frac{lna}{a}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{lna}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可知，需討論-$\frac{lna}{a}$與[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]的關(guān)系：
①當(dāng)-$\frac{lna}{a}$∈[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]，即a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]時(shí)，
f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（-$\frac{lna}{a}$）=-$\frac{lna+1}{a}$；
②當(dāng)-$\frac{lna}{a}$＜$\frac{1}{a}$，即a∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，由f（x）的單調(diào)性可知，
f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}-{e}^{a×\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{a}$-e；
③當(dāng)-$\frac{lna}{a}$＞$\frac{2}{a}$，即a∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時(shí)，由f（x）的單調(diào)性可知，
f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2}{a}-{e}^{a×\frac{2}{a}}$=$\frac{2}{a}$-e²；
綜上所述，當(dāng)a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（-$\frac{lna}{a}$）=-$\frac{lna+1}{a}$；
當(dāng)a∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}-{e}^{a×\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{a}$-e；
當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$]上的最大值為f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2}{a}-{e}^{a×\frac{2}{a}}$=$\frac{2}{a}$-e²；
（Ⅲ）證明：f（x）=x-e^ax（a＞0），f′（x）=1-ae^ax，
f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）＞0，ae＜1；
f（0）＜0，f（e）=e-e^ae＞0，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＞e；
∴0＜x₁＜e，
x₂＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{a}$，
故$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ae．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查了零點(diǎn)的判斷與應(yīng)用，屬于難題．