Question

【題目】如圖1， ， ，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當(dāng)的長為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)， 分別為棱， 的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得 ，并求與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）時(shí),三棱錐的體積最大．（2）當(dāng)時(shí)， ． 與平面所成角的大小．

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則．又，所以.由此易將三棱錐的體積表示為的函數(shù)，通過求函數(shù)的最值的方法可求得它的最大值.

（2）沿將△折起后， 兩兩互相垂直，故可以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可找到點(diǎn)N的位置，并求得與平面所成角的大小．

試題解析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．

由， 知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），， ，且，

所以平面．又，所以．于是

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)，即時(shí),三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值．

故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．

（2）以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．

由（1）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)， ， ．

于是可得， ， ， ， ， ，

且．

設(shè)，則.因?yàn)?/span>等價(jià)于，即

，故， .

所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)， ．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及，

得可取．

設(shè)與平面所成角的大小為，則由， ，可得

，即．