Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義城為R，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），f（-1）=2．
（1）求f（0）；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（4）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0；
（2）令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，可得f（x）是奇函數(shù)；
（3）由題設(shè)條件對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可；
（4）根據(jù)f（1）=-2，則-4=f（2），即可求f（x）在[2，4]上的最值．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0；
（2）令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
（4）x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
x=4時(shí)，函數(shù)取得最小值f（4）=f（2）+f（2）=-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了利用單調(diào)性求最值．此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中尋找到證明問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)出來(lái)．屬于中檔題．