5.已知函數(shù)f(x)的定義城為R,當(dāng)x>0時,f(x)<0,且對于任意實數(shù)x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),f(-1)=2.
(1)求f(0);
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;
(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(4)求f(x)在[2,4]上的最值.

分析 (1)令x=y=0,可得f(0)=0;
(2)令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,可得f(x)是奇函數(shù);
(3)由題設(shè)條件對任意x1、x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x2)-f(x1)與0的大小即可;
(4)根據(jù)f(1)=-2,則-4=f(2),即可求f(x)在[2,4]上的最值.

解答 解:(1)令x=y=0,可得f(0)=0;
(2)令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(x)是奇函數(shù);
(3)任取x1<x2,則x2-x1>0,
∵x>0時,f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0,
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x+y)-f(x)=f(y),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
(4)x=2時,函數(shù)取得最大值f(2)=f(1)+f(1)=-2-2=-4,
x=4時,函數(shù)取得最小值f(4)=f(2)+f(2)=-8.

點評 本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查了利用單調(diào)性求最值.此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力,能從所給的條件中尋找到證明問題的關(guān)鍵點出來.屬于中檔題.

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上網(wǎng)時間(分鐘)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]
人數(shù)1020402010
完成下面的2×2列聯(lián)表,并回答能否有90%的把握認(rèn)為“大學(xué)生上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”?

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