Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 S_n=n²a_n-n（n-1），當(dāng)n=2時，解得a₂=$\frac{5}{6}$．當(dāng)n≥2時，S_n-1=（n-1）²a_n-1-（n-1）（n-2），可得：（n+1）a_n-（n-1）a_n-1-2=0，當(dāng)n≥3時，na_n-1-（n-2）a_n-2-2=0，變形為（n+1）a_n-na_n-1=（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2，利用等比數(shù)列的通項公式可得：（n+1）a_n-na_n-1=$\frac{7}{6}$，數(shù)列{（n+1）a_n}從第三項開始為等差數(shù)列，即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n-n（n-1），
∴當(dāng)n=2時，$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂-2，解得a₂=$\frac{5}{6}$．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=（n-1）²a_n-1-（n-1）（n-2），
可得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1+2-2n，
化為（n+1）a_n-（n-1）a_n-1-2=0，
當(dāng)n≥3時，na_n-1-（n-2）a_n-2-2=0，
∴（n+1）a_n-na_n-1=（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2，
∴數(shù)列{（n+1）a_n-na_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列，首項為2a₂-a₁=$\frac{7}{6}$，公比為1．
∴（n+1）a_n-na_n-1=$\frac{7}{6}$，
∴數(shù)列{（n+1）a_n}從第三項開始為等差數(shù)列，4a₃=$\frac{11}{3}$，公差為$\frac{7}{6}$．
∴（n+1）a_n=$\frac{11}{3}$+$\frac{7}{6}$（n-3），
∴a_n=$\frac{7n+1}{6n+6}$．（n≥3）．
當(dāng)n=2時也成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{7n+1}{6n+6}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．