Question

16．將函數(shù)f（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大到原來的兩倍，再把得到的曲線圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，最后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)g（x）的最大值與最小值；
（3）求不等式-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=f（$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$））=2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）．
（2）由x∈[0，π]，可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由余弦函數(shù)的圖象可得cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，從而得解．
（3）由-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$，可求$-\frac{1}{2}≤$cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得不等式解集．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）g（x）=f（$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$））=2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）…4分
（2）∵x∈[0，π]，∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴y∈[-$\sqrt{3}$，1]，函數(shù)g（x）的最大值為1，最小值為-$\sqrt{3}$…8分
（3）∵-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤$cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$-\frac{2π}{3}+2kπ≤$$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$-\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}+2kπ≤$$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z，
∴4kπ-2π≤x≤4k$π-\frac{7π}{6}$或4kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤4k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴x∈[4kπ-2π，4k$π-\frac{7π}{6}$]∪[4kπ-$\frac{π}{6}$，4k$π+\frac{2π}{3}$]，k∈Z…12分

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．