Question

6．已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，點(diǎn)M，N分別為A′B，B′C′的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面A′ACC′；
（2）求證：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱錐C-MNB的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AB′，AC′，證明MN∥AC′，即可證明MN∥平面A′ACC′．
（2）利用直線與平面垂直的判定定理證明A′N⊥平面BCN．
（3）利用V_CMNB=V_MBCN，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （12分）解：（1）證明：如圖，連接AB′，AC′，
∵四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點(diǎn)，
∴AB′與A′B交于點(diǎn)M，且M為AB′的中點(diǎn)，又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，∴MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，且AC′?平面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′．

（2）直三棱柱ABC-A′B′C′滿足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，點(diǎn)M，N分別為A′B，B′C′的中點(diǎn)．
可得A′N⊥B′C′，A′N⊥CC′，B′C′∩CC′=C′，∴A′N⊥平面BCN
（3）由圖可知V_CMNB=V_MBCN，
∵∠BAC=90°，∴BC=$\sqrt{AB2+AC2}$=2$\sqrt{2}$，
又三棱柱ABC  A′B′C′為直三棱柱，且AA′=4，
∴S_△BCN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$．
∵A′B′=A′C′=2，∠B′A′C′=90°，點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，∴A′N⊥B′C′，A′N=$\sqrt{2}$．
又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′N⊥BB′，
∴A′N⊥平面BCN．
又M為A′B的中點(diǎn)，
∴M到平面BCN的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_CMNB=V_MBCN=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間想象能力以及計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．