Question

7．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)．
（1）求a₁的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=${3}^{1+{a}_{n}}$+（-1）^n-1×3ⁿ⁺¹t，對(duì)于n∈N^*有b_n+1＞b_n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)4S_n=1+2a_n+${{a}_{n}}^{2}$與4S_n-1=1+2a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$作差，進(jìn)而計(jì)算可知數(shù)列{a_n}時(shí)首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)（1）化簡(jiǎn)可知對(duì)于n∈N^*有2•9ⁿ＞（-3）ⁿ⁺¹t恒成立，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）依題意，$\frac{1+{a}_{n}}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，即4S_n=1+2a_n+${{a}_{n}}^{2}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=1+2a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$，
兩式相減得：4a_n=2a_n+${{a}_{n}}^{2}$-2a_n-1-${{a}_{n-1}}^{2}$，
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4a₁=1+2a₁+${{a}_{1}}^{2}$，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}時(shí)首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=${3}^{1+{a}_{n}}$+（-1）^n-1×3ⁿ⁺¹t=9ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹t，
∵對(duì)于n∈N^*有b_n+1＞b_n恒成立，
∴9ⁿ⁺¹+（-3）ⁿ⁺²t＞9ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹t，
整理得：2•9ⁿ＞（-3）ⁿ⁺¹t，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即：2•9ⁿ＞3ⁿ⁺¹t，
∴t小于2•3^n-1的最小值，
∴t＜2；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即：2•9ⁿ＞-3ⁿ⁺¹t，
∴t大于-2•3^n-1的最大值，
∴t＞-6；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是：（-6，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及不等式的性質(zhì)、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于難題．