Question

12．某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制．各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表．規(guī)定：A、B、C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí)．

百分制	85以及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等級(jí)	A	B	C	D

為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
（I）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的概率；
（Ⅲ）在選取的樣本中，從A、C兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）結(jié)合圖形求出n的值，即可求出頻率分布直方圖中的x，y的值；
（Ⅱ）找出成績(jī)是合格等級(jí)人數(shù)，進(jìn)而求出抽取50人成績(jī)合格等級(jí)的頻率，即可求出該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的概率；
（Ⅲ）找出C等級(jí)學(xué)生人數(shù)，A等級(jí)學(xué)生人數(shù)，確定出ξ的取值，進(jìn)而求出P（ξ）的值，確定出ξ的分布，以及Eξ的值．

解答 解：（I）由題意得：樣本容量n=$\frac{6}{0.012×10}$=50，x=$\frac{2}{50×10}$=0.004，y=$\frac{1-0.04-0.1-012-0.56}{10}$=0.018；
（Ⅱ）成績(jī)是合格等級(jí)人數(shù)為（1-0.1）×50=45人，抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為$\frac{9}{10}$，
設(shè)該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的事件為A，
則P（A）=1-${C}_{3}^{0}$×（1-$\frac{9}{10}$）²=$\frac{999}{1000}$；
（Ⅲ）由題意得：C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為0.18×50=9人，A等級(jí)的人數(shù)為3人，
故ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{9}^{1}C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{9}^{2}C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{108}{220}$=$\frac{27}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{84}{220}$=$\frac{21}{55}$，
∴ξ的分布為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

則Eξ=0×$\frac{1}{220}$+1×$\frac{27}{220}$+2×$\frac{27}{55}$+3×$\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，以及頻率分布直方圖，弄清圖形的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．