Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將f（x）化簡成分段函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性，求出最小值；
（2）將f（x）化簡成分段函數(shù)，對a進(jìn)行討論，得出結(jié)論．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1，x≥1}\\{{x}^{2}-x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a，x≥a}\\{{x}^{2}-x+a，x＜a}\end{array}\right.$，
①若a＞0，當(dāng)x≥a時，-x≤-a＜0，
f（x）=x²+x-a，f（-x）=x²+x+a，∴f（-x）≠±f（x）．
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．
②若a＜0，當(dāng)x＜a時，-x＞-a＞0，
f（x）=x²-x+a，f（-x）=x²-x-a，∴f（-x）≠±f（x）．
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．
③若a=0，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²+x，f（-x）=x²+x，∴f（x）=f（-x），
當(dāng)x＜0時，f（x）=x²-x，f（-x）=x²-x，∴f（x）=f（-x）．
∴f（x）是偶函數(shù)．
綜上，當(dāng)a=0時，f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的判斷，將f（x）化簡成分段函數(shù)是關(guān)鍵．