Question

10．已知圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，2π]，θ為參數(shù)），將圓上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)不變得到曲線C₁；以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=4\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動點，求點 P與曲線C₂上點的距離的最小值，并求此時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ可得，由三角函數(shù)公式可化極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=8，可得x+y=8；
（Ⅱ）由題意可得距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
消去參數(shù)θ可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=4\sqrt{2}$，
∴ρcosθ+ρsinθ=8，即x+y=8；
（Ⅱ）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）為曲線C₁上的動點，
則點P與曲線C₂：x+y=8上點的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1即θ=$\frac{π}{6}$時，d取最小值3$\sqrt{2}$，此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．