Question

4．已知x²+y²=4，求x+2y的最大值，并求取得最值時(shí)的x，y的值．

Answer 1

分析 直接運(yùn)用柯西不等式得（x+2y）²=（1•x+2•y）²≤（1²+2²）（x²+y²）=20，求得原式的最大值為2$\sqrt{5}$，再根據(jù)取等條件得出x，y．

解答 解：根據(jù)柯西不等式：（x₁x₂+y₁y₂）²≤（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）得，
（x+2y）²=（1•x+2•y）²≤（1²+2²）（x²+y²）=5×4=20，
所以，-2$\sqrt{5}$≤x+2y≤2$\sqrt{5}$，
即x+2y的最大值為2$\sqrt{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{y}$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，取“=”，
因此，x+2y的最大值為2$\sqrt{5}$，此時(shí)x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，y=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二維形式柯西不等式的應(yīng)用，以及取等條件的分析和計(jì)算，屬于中檔題．