Question

12．若sinθ+2cosθ=1，則$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=-7或1（算出一個給2分）．

Answer 1

分析 將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡可得cosθ（3cosθ+4sinθ）=0，從而可得cosθ=0，或3cosθ+4sinθ=0，分類討論，即可得解．

解答 解：∵sinθ+2cosθ=1，
∴兩邊平方可得：sin²θ+4cos²θ+4sinθcosθ=1，
∴3cos²θ+4sinθcosθ=0，
∴cosθ（3cosθ+4sinθ）=0，
∴cosθ=0，或3cosθ+4sinθ=0，
若cosθ=0，則sinθ=1，可得：$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1-0}{1+0}$=1；
若3cosθ+4sinθ=0，即：tanθ=-$\frac{3}{4}$，可得：$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{-\frac{3}{4}+1}$=-7．
故答案為：-7或1（算出一個給2分）．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想和分類討論思想的應用，屬于基礎題．