Question

6．命題p：已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x（x＞0）}\\{{3}^{x}（x≤0）}\end{array}\right.$，且函數(shù)F（x）=f（x）+x-a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；命題q：在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²+2ax-2＞0恒成立，若p且q為真，求參數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)F（x）=f（x）+x-a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即為y=f（x）和y=a-x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出y=f（x）和y=a-x的圖象，通過(guò)圖象觀察可得a的范圍；再由參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，可得-2a＜x-$\frac{2}{x}$恒成立的a的范圍，由p且q為真，即p，q都為真，可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)F（x）=f（x）+x-a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
即為y=f（x）和y=a-x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出y=f（x）和y=a-x的圖象，可得a≤1時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；
又在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²+2ax-2＞0恒成立，
即為-2a＜x-$\frac{2}{x}$恒成立，
由y=x-$\frac{2}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，可得區(qū)間[1，2]為增區(qū)間，
即有x=1時(shí)，取得最小值-1，
則-2a＜-1，解得a＞$\frac{1}{2}$．
綜上可得，p且q為真，即p，q都為真，
則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．