Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=3．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{y}{x}$=k，$\frac{y}{x}$的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時(shí)的k的值．
（2）設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，由此能求出y-x的最大值和最小值．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：（1）圓（x-2）²+y²=3，圓心（2，0），半徑為r=$\sqrt{3}$，
令$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，$\frac{y}{x}$的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時(shí)的k的值，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，解得k=±$\sqrt{3}$，∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$．
（2）∵圓（x-2）²+y²=3，圓心（2，0），半徑為r=$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴y-x=$\sqrt{3}$sin$θ-\sqrt{3}cosθ$-2=$\sqrt{6}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-2，
∴y-x的最大值是$\sqrt{6}-2$，最小值是-$\sqrt{6}$-2．
（3）x²+y²=（2+$\sqrt{3}cosθ$）²+（$\sqrt{3}$sinθ）²=4$\sqrt{3}cos$θ+7，
∴x²+y²的最大值為$4\sqrt{3}+7$，最小值為$7-4\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．