Question

15．已知函數(shù)f（x）=2x-（a+2）lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）欲求在點(diǎn)x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．
（II）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，分類討論，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，再求出極值即可

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x-2lnx$\frac{a}{x}$．
∴f′（x）=2-$\frac{2}{x}$．
函數(shù)函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）=0，
又f（1）=2，
故切線的方程為y-2=0，即y=2．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2-$\frac{a+2}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-a）（x-1）}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，得x=1或x=$\frac{1}{2}$a，
①當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＜0，得到x∈（$\frac{a}{2}$，1），
由f′（x）＞0，得到x∈（0，$\frac{a}{2}$）∪（1+∞），
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間是∈（0，$\frac{a}{2}$），（1+∞），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{a}{2}$，1），
所以，f（x）的極大值為f（$\frac{a}{2}$）=a-（a+2）ln$\frac{a}{2}$-2，
極小值為f（1）=2-a．
②當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時(shí)，由f′（x）＜0，得到x∈（1，$\frac{a}{2}$），
由f′（x）＞0，得到x∈（0，1）∪（$\frac{a}{2}$，+∞），
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間是∈（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，$\frac{a}{2}$），
所以，f（x）的極大值為f（1）=2-a，
極小值為f（$\frac{a}{2}$）=a-（a+2）ln$\frac{a}{2}$-2，
③當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
所以此時(shí)f（x）沒有極值．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及分類討論思想．屬于中檔題．