Question

9．已知函數(shù)y=x³+3x²+a有且僅有兩個零點x₁和x₂（x₁＜x₂），則x₂-x₁的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可先求導(dǎo)數(shù)，得出原函數(shù)的極值點，并根據(jù)題意可判斷x₁=0，或x₂=-2，帶入原函數(shù)即可分別求出a=0或-4，從而求出原函數(shù)的零點，進一步即可確定x₁，x₂的值，從而求出x₂-x₁的值．

解答 解：y′=3x²+6x；
∴-2，0是原函數(shù)的兩個極值點；
∴x＜-2，和x＞0時，原函數(shù)單調(diào)遞增，-2≤x≤0時，單調(diào)遞減；
且x₁，x₂中必有一個是極值點；
①若0是原函數(shù)的零點，則：
∴0=0+0+a；
∴a=0；
∴y=x³+3x²；
令y=0得，x=0，-3；
∵x₁＜x₂；
∴x₁=-3，x₂=0；
∴x₂-x₁=3．
②若-2是零點，則：
-8+12+a=0；
∴a=-4；
∴x³+3x²-4=（x³-1）+3（x²-1）
=（x-1）（x+2）²
=0；
∴x=1，-2；
∴x₁=-2，x₂=1；
∴x₂-x₁=3．
故選C．

點評 考查函數(shù)零點的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點的方法及極值點的定義，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，可借助圖象解決問題．