Question

19．已知函數f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+m}$（m≠0），則下列結論正確的是①④
①函數f（x）是奇函數，且過點（0，0）；
②函數f（x）的極值點是x=±$\sqrt{m}$；
③當m＜0時，函數f（x）是單調遞減函數，值域是R；
④當m＞0時，函數y=f（x）-a的零點個數可以是0個，1個，2個．

Answer 1

分析 利用函數的解析式對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①∵f（-x）=-$\frac{x}{{x}^{2}+m}$=-f（x），∴函數f（x）是奇函數，
∵f（0）=0，∴函數f（x）過點（0，0），故正確；
②m＞0，函數f（x）的極值點是x=±$\sqrt{m}$；，故不正確
③當m＜0時，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）單調遞減函數，故不正確；
④當m＞0時，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，大致圖象如圖所示

所以函數y=f（x）-a的零點個數可以是0個，1個，2個．正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查函數的解析式與性質，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．