Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，x≥0，f（x）=x²+4x+3，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）在R上的單調區(qū)間，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）運用偶函數(shù)的定義和已知解析式，即可求得x＜0的解析式，進而得到f（x）的解析式；
（2）f（x）的單調增區(qū)間為[0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．運用單調性證明，注意作差、變形、定符號和下結論幾個步驟．

解答： 解：（1）f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
令x＜0，則-x＞0，
由于x≥0，f（x）=x²+4x+3，則
f（-x）=x²-4x+3，
則x＞0時，f（x）=x²-4x+3，
即有f（x）=

x2+4x+3，x≥0 x2-4x+3，x＜0

；
（2）f（x）的單調增區(qū)間為[0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
證明：設0≤m＜n，則f（m）-f（n）=（m²+4m+3）-（n²+4n+3）
=（m-n）（m+n+4），
由于0≤m＜n，則m-n＜0，m+n+4＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（x）在[0，+∞）遞增；
設s＜t＜0，則f（s）-f（t）=（s²-4s+3）-（t²-4t+3）
=（s-t）（s+t-4），
由于s＜t＜0，則s-t＜0，s+t-4＜0，
即有f（s）-f（t）＞0，即f（x）在[0，+∞）遞減．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和運用：求解析式，考查運用定義證明單調性，考查運算能力，屬于基礎題．