Question

1．如圖，拋物線C₁：y²=2px與橢圓C₂：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，△OAB的面積為$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過A點(diǎn)作直線l交C₁于C、D兩點(diǎn)，求△OCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過△OAB的面積為$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$，求出$B（\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$，然后求出拋物線的方程．
（Ⅱ） 直線CD斜率不存在時(shí)，求出三角形的面積；直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD方程為y=k（x-4），與拋物線聯(lián)立，然后求出三角形的面積，推出S_△OCD最小值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)椤鱋AB的面積為$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$，所以${y_B}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，…（2分）
代入橢圓方程得$B（\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$，
拋物線的方程是：y²=8x…（6分）
（Ⅱ） 直線CD斜率不存在時(shí)，${S_{△OCD}}=16\sqrt{2}$；
直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD方程為y=k（x-4），代入拋物線，得ky²-8y-32k=0，y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁•y₂=32，
${S_{△OCD}}=\frac{1}{2}OA|{{y_1}-{y_2}}|=16\sqrt{2+\frac{1}{k^2}}＞16\sqrt{2}$，
綜上S_△OCD最小值為$16\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．