Question

10．已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，S_△ABC=$\frac{3}{16}$sinC，則cosC=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理可得：a+b=$\sqrt{2}$c，利用三角形面積計算公式可得：$\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{16}$sinC，ab=$\frac{3}{8}$，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
由正弦定理可得：a+b=$\sqrt{2}$c，
∵S_△ABC=$\frac{3}{16}$sinC，
∴$\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{16}$sinC，sinC≠0，
化為ab=$\frac{3}{8}$，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴1=$（\sqrt{2}）^{2}$-2×$\frac{3}{8}$（1+cosC），
解得cosC=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．