Question

11．已知橢圓x²+y²=a²的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=k（x-1）與橢圓交于A、B，兩點，試問，是否存在x軸上的點M（m，0），使得對任意的k∈R，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值，若存在，求出M點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的短半軸為b，半焦距為c，通過${b^2}=\frac{a^2}{2}$，三角形的面積為4，求出a²=8，b²=4，得到橢圓方程．（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，化簡$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$推出$m=\frac{11}{4}$時，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$-\frac{7}{16}$為定值，求出M坐標．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的短半軸為b，半焦距為c，
則${b^2}=\frac{a^2}{2}$，由c²=a²-b²得${c^2}={a^2}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，
由$\frac{1}{2}×b×2c=4$解得a²=8，b²=4，則橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$． …（6分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}$，…（8分）∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（{x_1}-m，{y_1}）•（{x_2}-m，{y_2}）={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-（m+{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+{k^2}+{m^2}$
=$（{k^2}+1）\frac{{2{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}-（m+{k^2}）\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+{k^2}+{m^2}$=$-\frac{{（{5+4m}）{k^2}+8}}{{2{k^2}+1}}+{m^2}$，…（10分）
當(dāng)5+4m=16，即$m=\frac{11}{4}$時，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$-\frac{7}{16}$為定值，
所以，存在點$M（\frac{11}{4}，0）$使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值． …（14分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，存在性問題的處理方法，考查計算能力．