Question

3．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿足BD=$\frac{1}{2}$DC，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，則（　�。�

• A． m+n是定值，定值為2
• B． 2m+n是定值，定值為3
• C． $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值，定值為2
• D． $\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值，定值為3

Answer 1

分析 根據(jù)條件$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$便得到$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m（\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}）$，從而得到$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$，同理可由條件$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$得到$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$，這樣由$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$，及$\overrightarrow{DM}$∥$\overrightarrow{DN}$即可得到1$-\frac{1}{n}=-2（1-\frac{1}{m}）$，從而得到$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=3$，從而選項(xiàng)D正確．

解答 解：連接DA，由$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$得：
$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m\overrightarrow{DB}-m\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$；
同理，由$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$：$\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DA}=n\overrightarrow{DC}-n\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$；
∵$BD=\frac{1}{2}DC$；
∴DC=2BD；
∴$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$；
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}=\frac{-2}{m}\overrightarrow{DM}$$-2（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$；
$\overrightarrow{DM}$和$\overrightarrow{DN}$共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DN}$；
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$=$-\frac{2λ}{m}\overrightarrow{DN}+（-2+\frac{2}{m}）\overrightarrow{DA}$；
∴$1-\frac{1}{n}=-2+\frac{2}{m}$；
∴$\frac{1}{n}+\frac{2}{m}=3$；
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$是定值，定值為3．
故選：D．

點(diǎn)評 考查向量減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理．