Question

5．如圖，兩同心圓（圓心在原點）分別與OA、OB交于A、B兩點，其中A（$\sqrt{2}$，1），|OB|=$\sqrt{6}$，陰影部分為兩同心圓構(gòu)成的扇環(huán)，已知扇環(huán)的面積為$\frac{3π}{4}$．
（1）設(shè)角θ的始邊為x軸的正半軸，終邊為OA，求$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$的值；
（2）求點B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A點坐標(biāo)求出θ的三角函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式化簡；
（2）根據(jù)扇環(huán)面積求出圓心角，得出∠xOB對應(yīng)的角，利用三角函數(shù)求出B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵tanθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos$θ=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$=$\frac{-tanθsinθ}{-sin2θ}=\frac{tanθ}{2cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）|OA|=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，設(shè)∠AOB=α，
則$\frac{1}{2}$α（|OB|²-|OA|²）=$\frac{3π}{4}$．
解得α=$\frac{π}{2}$．
∴$\sqrt{6}$cos（$θ+\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{6}$sinθ=-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$sin（$θ+\frac{π}{2}$）=$\sqrt{6}$cosθ=2．
∴B點坐標(biāo)為B（-$\sqrt{2}$，2）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的計算，化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．