Question

12．如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面SCM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明線面垂直，從而證明出線線垂直；
（Ⅱ）求出SE的長(zhǎng)，得到三角形BMC的面積，從而求出B到平面SCM的距離．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DS，DB．
因?yàn)镾A=SC，BA=BC，
所以AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，
所以AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，所以AC⊥SB．…（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镾D⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，
所以SD⊥平面ABC．
如圖4，過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM…（8分）
所以在Rt△SDE中，SD=1，$DE=\frac{1}{2}$，∴$SE=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，CM是邊長(zhǎng)為2的正△ABC的中線，
∴$CM=\sqrt{3}$，∴${S_{△SCM}}=\frac{1}{2}CM\;•\;SE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
${S_{△BMC}}=\frac{1}{2}\;•\;\frac{1}{2}AB\;•\;CM=\frac{1}{4}×2×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）
設(shè)點(diǎn)B到平面SCM的距離為h，
則由V_B-SCM=V_S-BCM得$\frac{1}{3}{S_{△SCM}}\;•\;h=\frac{1}{3}{S_{△BMC}}\;•\;SD$，
所以$h=\frac{{{S_{△BMC}}\;•\;SD}}{{{S_{△SCM}}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系及距離，考查線線垂直、線面垂直問題，是一道中檔題．