Question

6．已知直線x-y-1=0為函數(shù)f（x）=log_ax+b在點(diǎn)（1，f（1））處的一條切線．
（1）求a，b的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）=mx+$\frac{n}{x}$（n＞0）的圖象C₂交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中x₁＜x₂，過(guò)PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點(diǎn)M、N，設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為k₁，C₂在點(diǎn)N處的切線的斜率為k₂，求證：k₁＜k₂．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線的方程，即可得到a，b的值；
（2）求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得斜率k₁，k₂，化簡(jiǎn)整理，法一：令r（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$，t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，求出r（t）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證；法二：令m（t）=（t+1）lnt-2（t-1），t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，求出m（t）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得證明．

解答 解：（1）直線x-y-1=0的斜率為1，且過(guò)（1，0）點(diǎn)，
又函數(shù)f（x）=log_ax+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{xlna}$，
檢驗(yàn)$\frac{1}{lna}$=1，log_a1+b=0，
解得a=e，b=0；                                
（2）證明：PQ的中點(diǎn)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
可得k₁=$\frac{1}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
g（x）=mx+$\frac{n}{x}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=m-$\frac{n}{{x}^{2}}$，
即有k₂=m-$\frac{n}{（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}}$，
由x₁＞x₂＞0，可得（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²＞x₁x₂，
即有k₂＞m-$\frac{n}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
則（x₂-x₁）k₂＞m（x₂-x₁）-$\frac{n（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=mx₂+$\frac{n}{{x}_{2}}$-（mx₁+$\frac{n}{{x}_{1}}$）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
又（x₂-x₁）k₁=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，
法一：令r（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$，t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則r′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$，
因?yàn)閠＞1時(shí)，r′（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故r（t）＞r（1）=0，則k₂＞k₁．
法二：令m（t）=（t+1）lnt-2（t-1），t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則m′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，
因?yàn)椋╨nt+$\frac{1}{t}$）′=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，所以t＞1時(shí)，（lnt+$\frac{1}{t}$）′＞0，
故lnt+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而lnt+$\frac{1}{t}$-1＞0，即r′（t），
于是m（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故m（t）＞m（1）=0，
即（t+1）lnt＞2（t-1），即lnt＞$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
則k₂＞k₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，以及構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．