Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)在直線y=x-2上，現(xiàn)將拋物線沿向量

a

進(jìn)行平移，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線y=x-2移到點(diǎn)（2a，4a+2）處，則平移后所得的拋物線被y軸截得的弦長(zhǎng)?=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出a=-2，再確定平移前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出平移后拋物線的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：對(duì)y=x-2，令y=0 得 x=2
即拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），所以拋物線方程為y²=8x．
又因?yàn)辄c(diǎn)（2a，4a+2）在直線y=x-2上
解得：a=-2
所以平移向量為

a

=（-6，-6）
所以設(shè)平移后的點(diǎn)為（x，y），拋物線上的點(diǎn)為（x₀，y₀）
則x-x₀=-6，y-y₀=-6
所以x₀=x+6，y₀=y+6
又y₀²=8x₀，
所以（y+6）²=8（x+6），
令x=0，可得y=-6±4

3

，
∴平移后所得的拋物線被y軸截得的弦長(zhǎng)?=8

3

．
故答案為：8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平移后所得的拋物線被y軸截得的弦長(zhǎng)，考查拋物線的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．