Question

8．已知奇函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+4x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x^2}+mx（x＜0）}\end{array}}\right.$

（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a-2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式即可求出m的值，
（2）根據(jù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a-2]上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
設(shè)x＜0，則f（x）=x²+mx，
則-x＞0，則f（-x）=-x²-4x=-f（x），
∴f（x）=x²+4x，
∴m=4，
圖象如圖所示：
（2）由圖象可得，函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a-2]上單調(diào)遞增，
∴-2＜a-2≤2，
解得0＜a≤4，
故a的取值范圍為（0，4]

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．