已知函數(shù),其中a,b∈R
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a>0,且a為常數(shù)時,若函數(shù)h(x)=x[g(x)+1]對任意的x1>x2≥4,總有成立,試用a表示出b的取值范圍;
(3)當(dāng)時,若對x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.
(1);(2)時,,時,;(3)1
【解析】
試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,即可求出的最小值;(2)解決本題的關(guān)鍵是由“對任意的x1>x2≥4,總有成立”得出“在上單調(diào)遞增”,從而再次轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于0的問題求解;(3)通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為對恒成立,于是轉(zhuǎn)化為求在上的最大值問題求解.解題過程中要注意對參數(shù)的合理分類討論.
試題解析:(1)∵,令,得
∴在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增
∴在處取得最小值
即; 4分
(2)由題意,得在上單調(diào)遞增
∴在上恒成立
∴在上恒成立 5分
構(gòu)造函數(shù)
則
∴F(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(i)當(dāng),即時,F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
∴
∴,從而 7分
(ii)當(dāng),即時,F(xiàn)(x)在(4,+∞)上單調(diào)遞增
,從而 8分
綜上,當(dāng)時,,時,; 9分
(3)當(dāng)時,構(gòu)造函數(shù)
由題意,有對恒成立
∵
(i)當(dāng)時,
∴在上單調(diào)遞增
∴在上成立,與題意矛盾. 11分
(ii)當(dāng)時,令
則,由于
①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減
∴,即在上成立
∴在上單調(diào)遞減
∴在上成立,符合題意 12分
②當(dāng)時,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
∵
∴在成立,即在成立
∴在上單調(diào)遞增
∴在上成立,與題意矛盾 13分
綜上,a的最小值為1 14分
考點:導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,范圍與最值,分類與整合.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖形如圖所示,則關(guān)于的不等式的解集為( ).
A、 B、
C、 D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市高新區(qū)高三9月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,若是的最小值,則的取值范圍為( )
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市高新區(qū)高三9月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在等差數(shù)列中,,則的前5項和= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市高新區(qū)高三9月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( )
(A)在區(qū)間上單調(diào)遞減 (B)在區(qū)間上單調(diào)遞增
(C)在區(qū)間上單調(diào)遞減 (D)在區(qū)間上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市畢業(yè)班摸底測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前n項和為,且
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市畢業(yè)班摸底測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(4-x)=f(x),且當(dāng)x∈(-1,3]時,f(x)=,則函數(shù)g(x)=f(x)-|lgx|的零點個數(shù)是( )
A、7 B、8 C、9 D、10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市畢業(yè)班摸底測試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是____________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市高三九月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),若對于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(-2012)+f(2013)=________________.
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